迄今我们只有一阶微商。为什么就没有二阶微商呢？我们可以有下列几种组合：
你可以核实一下，这些全是可能的组合。
让我们首先看一看第二式（b）。与它相同的形式为
A×（AT）=（A×A）T=0，
因为A×A恒为零。因此，我们就有：
curl（grad T）=▽×（▽T）=0. （2.46）
如果用分量来计算一遍，便可以看出这个式是怎样产生的：
上式等于零［根据式（2.8）］。对于其他分量也是如此。因此，对任何一种温度分布（实际上，对于任何 标量函数），▽×（▽T）=0。
现在让我们举出另一个例子，看看能否找到别的等于零的等式。一个矢量与一个其中含有该矢量的矢积的点积为零，即
A·（A×B）=0， （2.48）
因为A×B垂直于A，所以在A方向上就没有A×B的分量。与此相同的一种组合出现在式（2.45）的（d）中，因而我们有：
▽·（▽×h）=div（curlh）=0. （2.49）
此外，用分量进行运算来证明上式为零并不困难。
现在我们将不加证明地陈述两个数学定理。它们是物理学家已经知道的十分有趣而又有用的定理。
在一个物理问题中，我们经常发现某一个量——比如矢量场A——的旋度为零。如我们已由式（2.46）看到，一个梯度的旋度为零，这是很容易记住的，因为这种情形是矢量造成的。于是，有可能肯定A是某一个量的梯度，这样它的旋度才必然等于零。这个有趣的定理说明，如果curlA等于零，则A总是某种东西 的梯度——存在某一标量场ψ使得A等于gradψ. 换句话说，我们有
定理 ：
若A的散度为零，则有一个相似的定理。我们已从式（2.49）看到，某个矢量旋度的散度总是零。如果你遇到divD为零的一个矢量场D，那你就可以得出结论，D是某个矢量场C的旋度。
定理 ：
在考察两个算符的可能组合中，我们已经找出其中有两种组合总是等于零。现在来看看那些不 等于零的组合。取出表上所列的第一个组合▽·（▽T）。我们把它写成分量式：
▽T=（▽x T，▽y T，▽z T）.
于是
上式一般应给出某个数，它是一个标量场。
你看到，上式无需保留那个括号，因而在不会引起混乱的情况下它可以写成：
▽·（▽T）=▽·▽T=（▽·▽）T=▽2 T. （2.53）
这里我们把▽2 看成一个新的算符。这是一个标量算符。由于它经常出现在物理学中，因而已被赋予一个专用名称，即拉普拉斯算符 。
由于拉普拉斯算符是一个标量算符，就可以用它来对一矢量进行运算——这意味着对在直角坐标系的每一个分量进行同一种运算：
▽2 h=（▽2 hx ，▽2 hy ，▽2 hz ）.
让我们再来看另一个可能性：▽×（▽×h），那是表（2.45）中的（e）。现在如果我们应用矢量等式（2.6）：
A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）， （2.55）
便可以把一个旋度的旋度写成不同的形式。为了使用这一公式，我们应当用算符▽来代替其中的A和B，并令C=h。这样就得到：
▽×（▽×h）=▽（▽·h）-h（▽·▽）…???
但请等一等！有点不对了。前两项不错，那都是矢量（算符被满足了），可是末项就不知会产生出什么东西来。它仍然是一个算符。麻烦在于我们曾经不够小心，以致不能保持各项的前后次序。然而，若你再看一看式（2.55），就会见到我们同样可以把它写成：
A×（B×C）=B（A·C）-（A·B）C. （2.56）
这几项的次序看来要好些。现在在式（2.56）中做代换，便得：
▽×（▽×h）=▽（▽·h）-（▽·▽）h. （2.57）
这个形式看来不错。事实上，它是正确的，例如你可以通过计算分量给以证明。末项就是拉普拉斯算符，因而我们同样可以写成：
▽×（▽×h）=▽（▽·h）-▽2 h. （2.58）
除了（c）▽（▽·h）以外，我们对于表中的双▽的组合全都谈过一些了。它可能是一个矢量场，但却没有什么特殊情况可说的。那不过是偶尔会出现的一种矢量场罢了。
把我们的结论列成一表将很方便：
你可能会注意到，我们从未试图发明一个新的矢量算符（▽×▽）。你看这是为什么？