在讨论下一个积分定理——关于散度方面的定理——之前，我们想学习一下物理意义较明显的关于热流的某种概念。我们曾定义过矢量h，它代表单位时间内通过单位面积的热量。假设在一块材料内部，有一个包围着体积V的某闭合曲面S（图3-3）。我们希望求出从这个体积 里流出去的热量有多少。当然，我们可以通过计算流出表面 S的总热量来求得它。
图3-3 闭合面S规定了体积V。单位矢量n是面积元da的外法线，而h则是该面积元处的热流矢量
我们用da记为一个面积元的面积，这符号代表一个二维微分，例如，若该面积碰巧处在xy面上，则应有
da=dxdy.
由于以后还将对体积进行积分，所以，为方便起见，考虑一个小立方体的微分体积。这样，当我们写出dV时，指的就是
dV=dxdydz.
有些人不喜欢写成da，而喜欢写成d2 a以提醒人们注意那是一个二级量。他们同样不想用dV而要用d3 V。我们则将采用那种较简单的符号，并假定你确能记住面积具有二维，而体积具有三维。
通过面积元da流出的热量等于该面积乘以垂直于da的h分量。我们已把n定义为与表面成直角而指向外的单位矢量（图3-3）。希望得到的h分量为：
hn =h·n. （3.9）
于是，通过da流出的热量为
h·nda. （3.10）
为了得到通过任意表面的总热量，我们对来自所有面积元的贡献求和。换句话说，将在整个表面对式（3.10）进行积分：
通过S向外流出的总热量=∫S h·nda. （3.11）
我们将把这个面积分称为“h通过该表面的通量”。通量这个词的原有意义是流量，因而面积分恰好意味着h通过该表面的流量。可以认为：h是热量流动的“流密度”，而它的面积分则是指向表面外的总热量流，也就是单位时间流出的热能（每秒的焦耳数）。
我们希望把这一概念推广到矢量并不代表任何流动的东西那种情况。例如，它或许是电场。如果我们乐意的话，肯定也能对电场的法向分量在一个面上积分。尽管这并不是什么东西的流动，但我们仍称之为“通量”。我们说，
E通过曲面S的通量=∫S E·nda. （3.12）
这就把“通量”这一词推广到指一矢量的“法向分量的面积分”了。即使所考虑的表面不是闭合的情况，我们也将使用同样的定义，就像这里讨论闭合面那样。
回到热流的特殊情况，让我们以热量守恒 的情况为例。例如，设想有某件材料初始加热以后就不再有热量产生或吸收。于是，如有净热量从闭合表面流出去，则该体积内热的含量就一定会减少。所以，在这种情况下热量应该守恒，我们说：
式中Q是表面S内的热量。从S面出来的热通量等于S面内总热量Q对于时间变化率的负值。这种解释是可行的，因为我们正在谈论热流，而且已假定热量是守恒的。当然，假如那时热量正在产生，则我们也许就不能谈论该体积内的总热量了。
图3-4 包围在S面内的体积V被一“截面”Sab 分成两半。现在就有了包围在S1 =Sa +Sab 面内的体积V1 和包围在S2 =Sb +Sab 面内的体积V2
现在我们要指出一个关于任意矢量的通量的有意义的事实。如果愿意，你可以认为这矢量是热流矢量，但我们所要讲的内容对任一矢量场C都将是正确的。设想有一包围体积V的闭合曲面S，现用如图3-4所示的某种“截面”将体积分成两部分，我们就有两个闭合曲面和体积。体积V1 被曲面S1 包围，由原来表面的一部分Sa 和截面Sab 构成。体积V2 被曲面S2 包围，由原来表面的其余部分Sb 再加上截面Sab 构成。现在考虑下述问题：假设要计算通过曲面S1 的向外通量，再加上通过曲面S2 的向外通量。这个总和是否会等于通过开始时那个完整表面的通量呢？答案是肯定的。通过S1 和S2 所共有的Sab 面部分的通量恰好互相抵消。关于从V1 出来的矢量C的通量，我们可以写成：
而从V2 流出的通量，则是：
注意！在这两个积分中，n1 表示Sab 属于S1 时的外法线，而n2 则表示Sab 属于S2 时的外法线，分别如图3-4所示。显然，n1 =-n2 ，因而
现在若把式（3.14）和（3.15）相加，则通过S1 和S2 两通量之和恰好等于那两个积分之和，而把这两个积分合在一起，就给出通过原来的曲面S=Sa +Sb 的通量。
我们看到，通过整个外表面S的通量，总可以认为是该体积分成两部分后所得到的通量之和。还可以照样再分割下去——例如把V1 再分成两块，你会看到同样的论证仍然适用。因此，不管将原来体积按何种 方式分割，普遍正确的结果应该是：由原来积分表示的、通过外表面的通量，等于出自内部所有各小块的通量之和。