我们将怎样求得沿每一小正方形的环流呢？首先就要问，这一正方形在空间中的取向如何？要是它有一个特殊取向，那计算起来就会方便得多。例如，假使它位于一个坐标平面内。由于对坐标轴的取向我们还未做过任何假设，因此就可以这样选取坐标轴，使此刻我们正专注的那个小正方形正好落在xy面内，如图3-10所示。若该结果用矢量符号来表示，那就可以说，不管该面的特殊取向如何，结果都是一样的。
现在我们希望求出场C绕该小正方形的环流。如果令该正方形足够小，使得矢量C沿它的任一边都不会改变很多，进行线积分就较容易（正方形越小，这个假定就越好，而实际所谈的正是无限小的正方形）。从位于图的左下角那一点（x，y）出发，按照箭头所指的方向绕行一周。沿标记为（1）的第一条边，其切向分量为Cx （1）而长度为Δx。该积分的第一部分就是Cx （1）Δx。沿第二条边，我们获得Cy （2）Δy。沿第三条边得-Cx （3）Δx，而沿第四条边得-Cy （4）Δy。这些负号是需要的，因为这里要求的是沿绕行方向的切向分量。因此，整个线积分就是：
图3-10 计算绕行一个小正方形的C的环流
现在让我们注意第一和第三部分。它们合起来就是：
［Cx （1）-Cx （3）］Δx. （3.32）
你也许认为，对我们的近似程度来说这个差值为零。这对于一级近似是对的。然而可以更精确一些，计及Cx 的变化率。如果这样便可以写出：
假如把次级近似也包括进去，则会涉及到（Δy）2 等项，但由于我们最终将取Δy→0时的极限，所以这样的项都可以忽略。将式（3.33）和（3.32）结合起来，会得出
对于我们的近似，上式中的微商可以在（x，y）处计算出来。
同理，环流中的其他两项，也可以写成：
于是，绕上述那个小正方形的环流为：
这很有趣，因为括号内两项恰好就是旋度的z分量。并且，我们还注意到，ΔxΔy就是该正方形的面积。因此，可以将环流式（3.36）写为：
（▽×C）z Δa.
这个z分量实际上就是沿该表面元法向 的分量。因此，还可以将绕一个微分正方形的环流写成一种不变的矢量形式：
∮C·ds=（▽×C）n Δa=（▽×C）·nΔa. （3.37）
我们的结果是：任一矢量C绕一个无限小正方形的环流，等于C的旋度垂直于表面的分量乘以该正方形面积。
现在，绕任一条回路Γ的环流，可以轻而易举地同矢量场的旋度联系起来了。用任意合适的曲面S将回路填满，如图3-11所示，并把绕这个面上一系列无限小正方形的环流加起来。这个和可以写成一个积分。其结果是以斯托克斯命名（为纪念斯托克斯先生）的一个十分有用的定理。
图3-11 C绕Γ的环流等于▽×C的法向分量的面积分
斯托克斯定理 ：
∮Γ C·ds=∫S （▽×C）n da， （3.38）
式中S是以Γ为边界的任意曲面。
现在必须谈谈关于符号的一个惯例。在图3-10中，采用“常用”的——也即“右手”的——坐标系统，z轴将指向 你们。当按照旋转的“正”指向进行线积分时，我们发现环流等于▽×C的z分量。要是我们绕行的方向相反，即会获得一个相反的符号。那么，一般说来，我们怎么会知道应选取哪个方向作为▽×C的法向分量的正向呢？正法线始终必须与旋转的指向联系起来，如图3-10所示的。对于普遍情况，则如图3-11所示。
“右手法则”是记住这个关系的一种办法。如果你用右 手手指围绕曲线Γ，指尖指向ds的正方向，那么你的大拇指就指向S面的正 法线方向。