现在我们要来讨论上述新定理的某些结果。首先，考虑一个矢量其旋度处处 为零的情况。这时斯托克斯定理说，绕任何回路的环流等于零。现在若在一闭合曲线上选取两点（1）和（2）（图3-12），则从（1）至（2）的切向分量的线积分将与这两条可能路线中选取哪一条无关。我们可以断定，从（1）至（2）的积分只取决于这两点的位置——也就是说，它仅是位置的函数。同样的推理方法也曾在第1卷第14章中使用过，在那里我们曾证明如果某量绕一闭合回路的积分总是零，则该量对任一曲线的积分可以表达为两端点位置的某一函数之差。这一事实使我们创立了势的概念。而且，我们证明该矢量场就是这一势函数的梯度［见第1卷式（14.13）］。
图3-12 如果▽×C为零，则绕一闭合曲线Γ的环流等于零。从（1）至（2），C·ds沿a的线积分与沿b的线积分必相同
由此可见，任一旋度为零的矢量场等于某个标量函数的梯度。这就是说，如果处处▽×C=0，则存在某个ψ，使得C=▽ψ，这是一个有用的概念。如果愿意，我们可以用一个标量场来描述这一特殊类型的矢量场。
让我们再来证明另一件事。假设有任意的 标量场ϕ。如果取它的梯度即▽ϕ，那么这个矢量绕任意闭合回路的积分就必然为零。这矢量从点（1）至点（2）的线积分为［ϕ（2）-ϕ（1）］。如果（1）和（2）是同一点，那么定理1、即式（3.8）告诉我们，该线积分等于零：
∮回路 ▽ϕ·ds=0.
应用斯托克斯定理，我们可以得出结论：在任何曲面上
∫▽×（▽ϕ）n da=0.
但如果在任何 曲面上的积分都等于零，则该被积函数必定为零。所以，总有
▽×（▽ϕ）=0.
这个结果与我们在§2-7中应用矢量代数证明过的结果相同。
现在让我们考虑一种特殊情况，即用一个大 曲面S来填满一个小 回路Γ，如图3-13所示。实际上我们希望看看，当该回路缩小至一点、使得曲面的边缘消失不见而成为一闭合曲面时，究竟会发生什么情况。现在，如果矢量C处处有限，则当我们缩小该回路时，绕Γ的线积分应该趋于零——该积分大体上正比于Γ的周长，而周长趋于零。按照斯托克斯定理，（▽×C）n 的面积分也必为零。不知为什么，当我们把曲面关闭时，就会加进一些贡献将以前那里存在的东西抵消掉。因而我们得到一个新的定理：
∫任意闭合曲面 （▽×C）n da=0. （3.39）
图3-13 在趋向于一个闭合曲面的极限上，我们发现（▽×C）n 的面积分必为零
这看来很有意思，因为我们已经有一个关于矢量场曲面积分的定理。按照高斯定理，即式（3.18），这样的面积分等于该矢量的散度的体积分。当应用于▽×C上时，高斯定理表明：
∫闭合曲面 （▽×C）n da=∫曲面内体积 ▽·（▽×C）dV. （3.40）
所以我们得出结论，第二个积分也应等于零，即
∫任意体积 ▽·（▽×C）dV=0， （3.41）
这对于任何矢量场C都正确。由于式（3.41）对于任何体积 都正确，所以在空间每一点 该被积函数为零就必然正确。因此，我们就恒有
▽·（▽×C）=0，
但这是§2-7中我们曾从矢量代数方面得到过的相同结果。现在我们开始来看看如何把每样东西配合起来。