本章将描述在几种不同情况下电场的行为。它将向我们提供有关电场表现方式的一些经验，并将描述求解这种电场的某些数学方法。
首先我们要指出，全部数学问题在于解静电学的两个麦克斯韦方程：
实际上，上述两方程也可合并成一个方程。从第二个方程我们立即知道可以把场描述为标量的梯度（见§3-7）：
E=-▽ϕ. （6.3）
如果我们乐意，就可以用势ϕ完整地描写任一个特定电场。将式（6.3）代入式（6.1）中，便可得到ϕ所应服从的微分方程
（6.4）
ϕ梯度的散度与用▽2 对ϕ进行运算的结果相同，即
因此，我们便可将式（6.4）写成
（6.6）
算符▽2 称为拉普拉斯算符，而式（6.6）则称为泊松方程。从数学的观点看，静电学整个课题只不过是学习这一方程式（6.6）的解。一旦ϕ由解方程式（6.6）得出，便可立即由式（6.3）求得E。
我们将首先提出其中ρ作为x，y，z的函数是已知的那种特殊类型的问题。在这种情况下问题几乎是琐碎肤浅的，因为我们已知道式（6.6）的一般解了。以前就曾证明过：若ρ在每点均为已知，则在点（1）处的势就是
式中ρ（2）和dV2 分别代表点（2）处的电荷密度和体积元，而r12 则为（1）与（2）两点间的距离。微分 方程式（6.6）的解已简化成对整个空间的积分 。式（6.7）这种解应加以特别注意，因为物理学中就有许多情况都会引导到如
▽2 （某件东西）=（另一件东西）
这样一种方程，而式（6.7）便是任何这类问题解的典型。
这样，当所有电荷的位置都已知时，静电场问题的解就完全是直截了当的。让我们在下述几个例子中看看这是怎么回事吧！