现在我们研究黏性流动的最普遍理论——至少是人类已经知道的最普遍形式。我们已经了解到剪切应力分量与各种速度分量的空间微商（诸如∂vx /∂y或∂vy /∂x）成正比。然而，在可压缩 流体的普遍情况下，应力中还存在取决于速度其他微商的另外的项。普遍的表示式为
式中xi 是直角坐标x，y或z中的任一个，而vi 则是速度的直角坐标中的任一个（δij 是克罗内克符号，当i=j时为1，而当i≠j时为零）。该附加项对于应力张量的所有对角元Sii 都增添了η′▽·v。如果流体是不可压缩的，则▽·v=0，而这一附加项就不见了。所以它与受压缩时的内力有关。因此要描述流体就需要两个常数，正如我们过去在描述均匀弹性固体时曾有过两个常数一样。系数η即我们曾遇到的“普通”黏性系数。它也被称为第一黏性系数 或“剪切黏性系数”，而新的系数η′被称为第二黏性系数 。
现在要确定单位体积里的黏性力f黏 ，以便能将其代入式（41.1）中而获得实际流体的运动方程。作用于流体中一小立方体上的力，等于作用在所有六个面上之力的合力。每次取其中两个面，将获得其差值，该值决定于应力的微商、亦即速度的二次微商。这很好，因为将会使我们回到矢量方程式上来。每单位体积的黏性力在直角坐标xi 方向的分量为
通常，黏性系数随位置的变化并不重要，因而可以忽略，这样，单位体积的黏性力就仅含有速度的二次微商。在第39章中，我们看到在一个矢量方程中可能存在的二次微商的最普遍形式为，含拉普拉斯符号（▽·▽v=▽2 v）的项与含散度的梯度项（▽（▽·v））两者之和。式（41.14）恰好就是具有系数η和（η+η′）的这样一个和。我们得到
f黏 =η▽2 v+（η+η′）▽（▽·v）. （41.15）
在不可压缩的情况下，▽·v=0，因而单位体积的黏性力正好是η▽2 v。那就是许多人所用到的全部内容。然而，如果你要计算流体中声波的吸收，那你就会需要第二项了。
现在可以完成实际流体运动的普遍方程方面的工作了。把式（41.15）代入（41.1）中，得
它是一个复杂的方程，但大自然就是这个样子。
如果像以往一样引进涡度Ω=▽×v，那么就可将上述方程写成
我们再次假定唯一起作用的彻体力是像重力那样的保守力。为弄清楚新项意味着什么，让我们考察不可压缩流体的情况。于是，如果取式（41.16）的旋度，则得到
这个式子除了在其右边有一新项外就很像式（40.9）了。当右边为零时，我们曾有过涡度随流体一起运动的亥姆霍兹定理。现在，虽然在右边已有相当复杂的非零项，然而，它却具有简单明了的物理意义。如果暂时略去项▽×（Ω×v），则得到一个扩散方程 。该新项意味着涡度Ω经由流体而扩散 。如果在涡度方面存在一个大的梯度，则它将会扩散到其邻近的流体中去。
这就是引起烟环在前进时会变得较厚的那一项。同样，如果你把一个“洁净”的涡环（由上一章所描述的那台仪器造成的“无烟”环）送过烟雾，则它就可以漂亮地被显示出来。当它跑出烟雾时，它已很好地吸取了某些烟雾，所以你会看到一个空心的烟环壳。有些Ω向外扩散进烟雾之中，但仍能保持与涡旋一起向前运动。