矢量算符▽，能否用作其他方面的代数运算？让我们尝试把它同一个矢量组合起来。可以通过点积来组合两个矢量，这可构成这样两种点积：
（矢量）·▽；或▽·（矢量）.
第一种还没有什么意义，因为它仍然是一个算符。最终的含意取决于它所运算的对象如何。第二种乘积则是某个标量场（A·B总是一个标量）。
让我们就用一个已知的矢量场、比如h，来试试它与▽的点积吧。把它写成分量为：
▽·h=▽x hx +▽y hy +▽z hz （2.32）
或
这个和式在坐标变换之下是不变的。假如我们选择一个不同的坐标系（通过加撇来表明），则我们会有 [2]
上式与式（2.33）尽管看起来不同，但所得的值相同 。这就是说，对于在空间每一点，
▽′·h=▽·h. （2.35）
因此，▽·h是一个标量场，它必定代表某个物理量。你会认识到，在▽·h中，各微商的组合方式相当特殊。此外，还有许多像∂hy /∂x的其他各种组合，它们既不是标量，也不是矢量的分量。
标量▽·（矢量）在物理学中非常有用。它的名称叫做散度 。例如，
▽·h=divh=“h的散度”. （2.36）
就像在上面对▽T所做的那样，也可以赋予▽·h一个物理意义。然而，我们将把这项工作推迟到以后。
首先，我们希望看看，由矢量算符▽是否还能设计些别的什么。我们必然指望
▽×h=一个矢量. （2.37）
它是一个矢量，其分量可按照有关叉积的通常规则［参见式（2.2）］写出：
同理，
组合▽×h称为“h的旋度 ”，其命名原因及物理意义都将在以后讨论。综上所述，同▽的组合有三种：
▽T=gradT=矢量；
▽·h=divh=标量；
▽×h=curlh=矢量.
利用这些组合，我们可以用一种常规的方法——一种并不依赖于任何特定坐标系的普遍方法——来写出关于场的空间变化。
作为对矢量微分算符▽应用的一个例子，我们写出一组矢量方程，它们包含着我们在第1章中口头上给出的相同的电磁学定律，它们被称为麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组 ：
式中，ρ为“电荷密度”，即单位体积的电量；j为“电流密度”，即每秒通过单位面积的电荷流。这四个方程式包含了电磁场完整的经典理论。你们看到，采用这种新符号，我们可能得到多么优美而又简洁的形式！