我们正在把关于一般矢量代数的知识应用到算符▽的代数上来，可是必须当心，因为有可能误入歧途。存在两个即将提到的陷阱，虽然它们并不会出现于本课程中。对于含有两个标量函数ψ和ϕ的下列表示式：
（▽ψ）×（▽ϕ），
你该说些什么呢？你也许会说：它必然等于零，因为它恰巧像
（Aa）×（Ab），
而两个相同 矢量的叉积始终是零。但是在这个例子中两个算符▽却不相同！前一个算符作用于函数ψ上；而另一个则作用于一个不同的函数ϕ上。所以尽管所用的是同一个符号▽，但它们仍应被认为是不同的算符。很明显，▽ψ的方向取决于函数ψ，因而它不大可能平行于▽ϕ。因此，
（▽ψ）×（▽ϕ）≠0 （一般地）.
幸而，我们今后无需用到这些表示式（刚才所说的不会改变这么一个事实，即对于任一标量场ψ，▽×▽ψ=0，因为这里两个▽是对同一函数的作用）。
第二号陷阱（在这门课程中我们没有必要去研究它）如下：当应用直角坐标系时这里提出的法则既简单而又美妙。比方，若有了▽2 h，而希望获得它的x分量，那便是
但如果我们所要求的是▽2 h的径向 分量，则这同一个表式就不 行了。▽2 h的径向分量并不等于▽2 hr 。原因是，如果我们同矢量代数打交道，矢量的方向就都是十分确定的。但当我们与矢量场打交道时，它们的方向则处处不同。如果我们试图用（比如说）极坐标来描述一个矢量场，则称为“径向”的那个方向便会逐点不同。因此，当我们开始对它的分量进行微分时，就会陷入一大堆麻烦之中。例如，甚至对一恒定不变 的矢量场，它的径向分量仍然逐点变化。
坚持只用直角坐标系往往是最保险和最简单的做法，而且避免了麻烦，但有一个例外值得一提：由于拉普拉斯算符▽2 是一个标量，所以我们就可能在我们想要的任意坐标系（例如在极坐标系）中把它写出来；但由于它是一个微分算符，所以只可以把它用到其分量各保持在固定方向上——即在直角坐标上——的那些矢量。因此，当我们用分量来写出矢量微分方程时，就必须把矢量场全部用它们的x，y，z分量来表达。
[1] 在我们的符号中，表示式（a，b，c）代表一个具有分量a，b和c的矢量。如果你喜欢用单位矢量i，j和k的话，那么可以写成：
[2] 我们把h设想成一个取决于空间位置的物理量 ，而不是把它设想成一个严格的含有三个变量的数学函数。当h对于x，y，z或对于x′，y′，z′求微商时，h的数学表达式就必须先表示为合适的变量的函数。